【Édition Renmin】Mathématiques du secondaire, Première année, Volume 2 (version A) : De la réalité aux données : la logique et les voies du sondage scientifique

La statistique est une science qui consiste à comprendre les phénomènes en collectant et en analysant des données. Dans la vie réelle, il est souvent impossible d'enquêter sur chaque individu, c'est pourquoi nous devons recourir au « sondage » pour tirer des conclusions générales à partir d'un échantillon, afin d'obtenir des inférences scientifiques.

1. Termes clés dans les enquêtes statistiques

Enquête complète (recensement) : Méthode consistant à enquêter sur chaque objet de l'enquête.
Enquête par échantillonnage (Survey d'échantillonnage) : Sélectionner une partie des individus d'une population pour effectuer une enquête, puis en tirer des estimations et des inférences concernant la population globale.
Population (Population) : L'ensemble des objets à étudier.
Individu (Individu) : Chaque objet enquêté qui constitue la population.
Échantillon (Échantillon) : La partie des individus extraite de la population.
Taille de l'échantillon : Le nombre d'individus contenus dans l'échantillon.

2. Diverses méthodes d'acquisition des données

Outre l'acquisition directe parl'enquête (comme le recensement) des données, nous pouvons également obtenir des informations par :

Expérimentation : En statistique, l'art d'organiser une expérience s'appelle la « conception expérimentale ».
Observation : Collecter des informations dans un état naturel.
Recherche : Obtenir des données déjà collectées par des personnes précédentes ; ces données sont appeléesdonnées secondaires .

L'échantillon étant aléatoire, les résultats d'inférence statistique tirés de cet échantillon comportent uneprobabilité (c’est-à-dire qu’il peut y avoir des erreurs), ce qui doit être pris en compte lors de l’interprétation des résultats statistiques pour résoudre des problèmes concrets.

Formule de proportion : $\frac{n}{N} = \frac{\text{taille de l’échantillon par strate}}{\text{taille totale par strate}}$

QUESTION 1

Afin de comprendre les résultats de 5 000 élèves ayant passé un test de niveau informatique dans une région donnée, on a sélectionné 200 élèves pour analyse. Dans cette situation, les 200 élèves sélectionnés sont ( ).

A. Population

B. Individu

C. Échantillon

D. Taille de l'échantillon

QUESTION 2

Une entreprise dispose de $N$ employés répartis dans plusieurs départements. On souhaite utiliser une méthode d’échantillonnage aléatoire stratifié avec allocation proportionnelle pour sélectionner un échantillon de taille $n$ parmi tous les employés. Si un département compte $m$ employés, combien d’employés doivent être sélectionnés dans ce département ? ( ).

$\frac{m}{n} \cdot N$

$\frac{n}{N} \cdot m$

$\frac{m}{N} \cdot m$

$n - m$

QUESTION 3

Parmi les enquêtes suivantes, laquelle convient le mieux à une enquête par échantillonnage ? ( ).

Enquête sur les surfaces semées de céréales dans les villages d’un comté

Connaître le taux de germination d’un lot de graines de maïs

Enquête d’une entreprise sur les rapports médicaux des employés

Recensement de la vision des élèves d’une classe

QUESTION 4

Le service de santé publique d’une région a enquêté sur 200 élèves concernant leur consommation de tabac. 58 ont répondu « oui ». Pouvez-vous estimer le pourcentage d’élèves fumeurs dans cette région ?

29 %

58 %

20 %

Impossible à estimer

QUESTION 5

La principale différence entre l’échantillonnage aléatoire simple et l’échantillonnage aléatoire stratifié réside dans ( ).

La taille de l’échantillon diffère

Si chaque individu a la même probabilité d’être inclus

Si l’échantillonnage se fait par groupes basés sur les différences individuelles

Les méthodes de traitement des données sont radicalement différentes

QUESTION 6

Pour $m$ données $x_i$ dont la moyenne est $\bar{x}$, et $n$ données $y_j$ dont la moyenne est $\bar{y}$, quelle est la formule correcte de la moyenne globale après combinaison ? ( ).

$\frac{\bar{x} + \bar{y}}{2}$

$\frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}$

$\frac{\bar{x} + \bar{y}}{m+n}$

$\frac{m+n}{\bar{x} + \bar{y}}$

QUESTION 7

Concernant la « probabilité » de l’échantillonnage, laquelle des affirmations suivantes est correcte ? ( ).

Tant que la méthode est scientifique, la conclusion est une vérité absolue

Les résultats de l’échantillonnage n’ont aucune valeur d’information

La conclusion est basée sur une inférence à partir de l’échantillon, et comporte un risque de hasard

Les résultats du recensement peuvent aussi engendrer des erreurs probabilistes

QUESTION 8

Parmi les méthodes d’enquête suivantes, laquelle relève de l’acquisition de « données secondaires » ? ( ).

Mesurer les performances de 100 mètres des élèves lors de cours de sport

Consulter les données démographiques dans l'Annuaire statistique à la bibliothèque

Concevoir un questionnaire pour enquêter sur les habitudes de consommation des passants

Enregistrer les temps de réaction lors d'une expérience chimique

QUESTION 9

Dans un échantillonnage aléatoire stratifié, si la taille de la population est de 1000, celle de l’échantillon est de 100, et qu’une strate compte 250 individus, combien d’individus doivent être sélectionnés dans cette strate ? ( ).

100

QUESTION 10

Dans un échantillonnage aléatoire simple, la probabilité qu’un individu soit inclus dans l’échantillon est ( ).

$n/N$

$1/n$

$1/N$

Défi : conception et inférence de plans statistiques

Matériel de lecture :Le gouvernement municipal envisage d’adopter un tarif progressif basé sur les données d’un échantillon de 200 foyers (consommation de 50 à 350 kWh) pour fixer les seuils. L’objectif est que 75 % des habitants soient classés dans la première tranche, 20 % dans la deuxième, et les 5 % restants dans la troisième.

1. [Réponse courte] Démontrer la formule de la moyenne globale dans l’échantillonnage stratifié : $\frac{\sum_{i=1}^m x_i + \sum_{j=1}^n y_j}{m+n} = \frac{m}{m+n}\bar{x} + \frac{n}{m+n}\bar{y}$

Démonstration : D’après la définition de la moyenne, $\sum_{i=1}^m x_i = m\bar{x}$ et $\sum_{j=1}^n y_j = n\bar{y}$.
En substituant dans le numérateur de la partie gauche :
Partie gauche $= \frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n} = \frac{m\bar{x}}{m+n} + \frac{n\bar{y}}{m+n} = \frac{m}{m+n}\bar{x} + \frac{n}{m+n}\bar{y}$.
Démonstration terminée. Cette formule montre que la moyenne globale est une moyenne pondérée des moyennes par strate.

2. [Tâche d'écriture] Proposez un plan pour une enquête sur le poids des élèves de l'école entière (environ 500 mots).

Points clés du plan de référence :
1. Définir clairement l'objectif : Comprendre la moyenne du poids des élèves de l'école et la répartition de l'obésité.
2. Déterminer la population et les individus : Tous les élèves de l'école forment la population, chaque élève est un individu.
3. Choisir la méthode d'échantillonnage : Étant donné les différences significatives de développement selon les niveaux scolaires et le sexe, il est recommandé d'utiliserun échantillonnage aléatoire stratifié. Stratifier selon le niveau scolaire (première, deuxième, troisième année) et le sexe.
4. Déterminer la taille de l’échantillon : Selon les contraintes humaines, sélectionner 10 % des élèves (par exemple, 300 personnes).
5. Mettre en œuvre la collecte des données : Utiliser la méthode de mesure directe (avec une balance), plutôt que les auto-déclarations (les données secondaires peuvent présenter des biais).
6. Analyse et inférence : Calculer la moyenne et l’écart-type de l’échantillon, tracer un histogramme de fréquence, et définir le critère de « surpoids » à partir des percentiles.

3. [Réponse courte] Certaines personnes disent : « L’échantillonnage économise des ressources humaines et matérielles, et donne des résultats presque identiques à ceux du recensement, donc il est toujours préférable. » Que pensez-vous de cette affirmation ?

Réponse de référence :
Cette affirmation a un certain fondement, mais elle est trop absolue.
(1) Avantages : L’échantillonnage est effectivement économique et rapide, et il est la seule option possible dans les cas destructifs (comme les tests de germination des graines) ou lorsque la population est infinie.
(2) Limites : L’échantillonnage comporte une erreur d’échantillonnage, et ses conclusions présentent une « probabilité ». Pour des besoins exigeant une très grande précision, des décisions nationales importantes (comme le recensement) ou des exigences légales de couverture totale, le recensement reste incontournable.
(3) Conclusion : Il faut choisir selon l'objectif de l'enquête, les coûts et la taille de la population.